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By Winfried Hochstättler (auth.)

ISBN-10: 3642054218

ISBN-13: 9783642054211

Mit diesem Buch wollen wir verschiedene Teilgebiete der Mathematik aus algorithmischer Perspektive vorstellen und dabei auch Implementierungs- und Laufzeitaspekte diskutieren. Gleichzeitig möchten wir, bei einer verkürzten Grundausbildung in Mathematik in naturwissenschaftlichen und informatischen Studiengängen, möglichst viele Teilaspekte der Mathematik vorstellen und vielleicht zu einer vertiefenden Beschäftigung mit dem einen oder anderen Aspekt anregen.

Unser Ziel ist es dabei nicht, den Leser zu einem versierten Anwender der besprochenen Algorithmen auszubilden, sondern wir wollen, immer ausgehend von konkreten Problemen, examine- und Lösungsstrategien in den Mittelpunkt stellen. Hierbei spielen insbesondere Beweise und Beweistechniken eine zentrale Rolle.

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Zun¨achst stellen wir fest, dass ˙ (B \ A) ∪ ˙ (A ∩ B) A ∪ B = (A \ B) ∪ ˙ (A ∩ B) A = (A \ B) ∪ ˙ (A ∩ B). 7. Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung 35 Also ist p(A ∪ B) = p(A \ B) + p(B \ A) + p(A ∩ B) = (p(A \ B) + p(A ∩ B)) + (p(B \ A) + p(A ∩ B)) − p(A ∩ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B). ✷ Wir hatten bisher stets Zufallsexperimente untersucht, bei denen die Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind. Wir nennen solche Experimente Laplace-Experimente. Wir sprechen von einem uniformen Wahrscheinlichkeitsraum und nennen p die Gleichverteilung auf Ω .

Wir nennen einen solchen Weg auch einen v0 - vk -Weg der L¨ange k . Analog nennen wir einen Teilgraphen, der isomorph zu einem Kreis ist, einen Kreis in G . Auch Kreise kann man als Knoten-Kantenfolge oder auch als Knotenfolge bzw. Kantenfolge notieren. Diese m¨ussen jeweils (bis auf Anfangs- und Endknoten) paarweise verschieden sein. Die Anzahl der Kanten oder Knoten eines Kreises heißt die L¨ange des Kreises. 8. Ein Graph G = (V, E) heißt zusammenh¨angend, wenn es zu je zwei Knoten u, v einen u - v -Weg gibt.

1 (Ungleichung arithmetisches-geometrisches Mittel). Seien a, b > 0 zwei reelle Zahlen. Dann ist √ a+b . 22) 24 Kapitel 2. Elementare Abz¨ahlprobleme und diskrete Wahrscheinlichkeiten √ √ √ Beweis. Aus 0 ≤ ( a − b)2 = a − 2 ab + b folgt sofort die Behauptung. )2 = n n ∏i ∏(n + 1 − i) i=1 i=1 n = ∏ i(n + 1 − i). 22) n n! = ∏ i(n + 1 − i) i=1 n i + (n + 1 − i) 2 i=1 ≤∏ n+1 2 = n , womit die obere Schranke bewiesen ist. F¨ur die untere gen¨ugt es zu beobachten, dass f¨ur i = 1, . . , n stets i(n + 1 − i) ≥ n .

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Algorithmische Mathematik by Winfried Hochstättler (auth.)


by Daniel
4.3

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