Bodo Pareigis's Analytische und projektive Geometrie für die PDF

By Bodo Pareigis

Die laptop Graphik ist eine der schönsten und attraktivsten Anwendungen von Computern. Kleine Zeichenprogramme für den Hausgebrauch, Graphiken für den Buchdruck, Architektur-Zeichnungen, graphische Darstellungen von Wirt­ schaftsentwicklungen, Konstruktionszeichnungen für den Maschinenbau und ani­ mierte Graphiken bis hin zum abendfüllenden Spielfilm sind eine Auswahl der graphischen Möglichkeiten, die durch den machine erschlossen werden. Die desktop Graphik stellt höchste Anforderungen an die Leistungsfähigkeit von Computern. Gerade auf ihrem Gebiet reihen sich technische Neuerungen und Entwicklungen in dichter Folge aneinander. Neben den technischen Entwicklungen werden auch neue mathematische Me­ thoden und Algorithmen verwendet, um die Graphik noch leistungsfähiger zu machen. Eine der elegantesten für die Graphik verwendeten mathematischen Methoden wird durch den Begriff der "homogenen Koordinaten" beschrieben. Sie sind die Koordinaten, die in der projektiven Geometrie verwendet werden. Und tatsächlich stammen viele der verwendeten Methoden der desktop Gra­ phik aus der projektiven Geometrie. Darstellungen dieses schönen mathematischen Gebiets in einer Weise, wie sie für die Anwendungen in der desktop Graphik wünschenswert wären, sind schwer zu finden. Ich habe daher versucht, diejenigen Methoden der projektiven Geo­ metrie, die für Anwendungen in der machine Graphik besonders interessant sind, in diesem Buch zusammenzustellen. Die ersten drei Kapitel sind der allgemeinen Sprache der linearen Algebra ge­ widmet, dem Rechnen mit Koordinaten, Vektoren und Matrizen. Der Leser, der mit diesen Begriffen schon vertraut ist, kann diese Kapitel zunächst übergehen und sie später als Referenz für besondere Begriffe oder Algorithmen verwenden.

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2111. Weiter sind die beiden Vektoren senkrecht zueinander, denn (v,w) = {(-2,3),(6,4)) = - 1 2 + 12 = 0. Damit können wir auch den Satz des Pythagoras auf diese beiden Vektoren anwenden und erhalten tatsächlich |M| + | M | 2 2 = 13 + 52 = 65 = 16 + 49 = ||(4,7)|| = ||(-2,3) + (6,4)|| = \\v-rw Schließlich bestimmen wir noch den Winkel zwischen v bzw. 147584TT. M a n sieht, daß sich in diesem Dreieck die Winkel zu 180° aufsummieren. Tatsächlich hätten wir auch nichts anderes erwartet. M a n kann nämlich den Satz über die Winkelsumme i m Dreieck ganz allgemein in den von uns eingeführten Begriffen beweisen.

BEWEIS: Zunächst zeigen wir, daß man eine invertierbare Matrix M durch ele- mentare Spaltenumformungen in eine Einheitsmatrix E n umwandeln kann. Der oben angegebene Algorithmus wandelt M in eine Stufenmatrix S u m . 42 invertierbare Matrizen den Rang n haben, muß auch die Stufenmatrix S den Rang n haben, also n linear unabhängige Zeilen. Das geht offenbar nur, wenn keine der Spalten von S den Nullvektor ergibt. h. S hat Koeffzienten Null oberhalb der Diagonalen, Koeffizienten Eins auf der Diagonalen und beliebige Koeffizienten unterhalb der Diagonalen.

M a n wähle eine lineare Abbildung / : K™ = M. := ein affiner Unterraum dessen Lösungsmenge —• K n mit K e r n ( / ) = U Das ist immer möglich, wenn n + dim([/) > m ist. Weiter setze /(XQ). Dann ist B die Lösungsmenge von x • M = b. 3 Lineare Gleichungssysteme und Matrizenumformungen F o l g e r u n g . 20 Raums (A,V, r). ein affiner Unterraum 43 des m-dimensionalen Dann gibt es eine Affinität zwischen A und K , jektiv auf die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems affinen die B m bi- abbildet.

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Analytische und projektive Geometrie für die Computer-Graphik by Bodo Pareigis


by Christopher
4.0

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