Angewandte Mathematik mit Mathcad, Lehr- und Arbeitsbuch: - download pdf or read online

By Josef Trölß

ISBN-10: 321129693X

ISBN-13: 9783211296936

ISBN-10: 3211296948

ISBN-13: 9783211296943

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verf?gung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierb?ndigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad", richtet sich vor allem an Sch?lerinnen und Sch?ler h?herer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich ?ber eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen, Fourierreihen, Fourier-Transformation, Laplace-Transformation, z-Transformation, Differentialgleichungen, Differenzengleichungen informieren wollen und dabei die Vorz?ge von Mathcad m?glichst effektiv n?tzen m?chten.

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3 Taylorreihen Wie bereits im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurde, stellt eine Potenzreihe auf ihrem Konvergenzintervall eine Funktion dar. Es soll nun untersucht werden, unter welchen Bedingungen eine Funktion in eine Potenzreihe entwickelt werden kann. B. durch fortlaufende Division als Reihe geschrieben werden: f ( x) = 1 1  x  x0 2  x  x0 3  .... = 1  x  x0  x  x0 (2-8) Die Reihe hat dann folgende Form: 2  a3 ˜ x  x0 3  .... f ( x) = a0  a1 ˜ x  x0  a2 ˜ x  x0 (2-9) Zur Ermittlung der Koeffizienten a i bilden wir vorerst unter der Annahme, dass die Funktion in einer Umgebung von x 0 differenzierbar ist, deren Ableitungen.

N 0 (2-10) Sie kann auch als Summe von Taylorpolynom und Restglied geschrieben werden: n f ( x) = ¦ k 0 ª« f ( k) x º 0 k» « k ˜ x  x0 »  Rn1( x) . ¬ ¼ (2-11) Rn+1 (x) bezeichnet man als Restglied, weil es den Unterschied von f(x) zum Taylorpolynom angibt. Die Taylorreihe wird auch MacLaurin-Reihe genannt. Taylorreihen sind spezielle Potenzreihen, aber nicht jede Potenzreihe ist eine Taylorreihe! Seite 24 Taylorreihen Das Restglied von Lagrange lautet: Rn1( x) = ( n1) f ( T ˜ x) ( n  1) n1 mit ˜ x  x0 0T 1 (2-12) Dieses Restglied gibt Aufschluss über die Konvergenz der Reihe und über den Fehler, den wir bei Abbruch der Reihe nach dem n-ten Glied begehen.

19: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 bzw. x0 = 1 der Funktionen f(x) = arsinh(x), artanh(x) und arcosh(x) ? arsinh ( x) reihe  x = 0  12 o 1 ˜ x  § ln © x  1 6 · 2 x  1¹ reihe  x = 0  12 o 1 ˜ x  1 artanh ( x) reihe  x = 0  12 o 1 ˜ x  1 2 3 ˜x  3 1 6 3 ˜x  3 40 1 5 5 5 5 ˜x  40 ˜x  7 ˜x  112 3 3 ˜x  1 5 5 ˜x  112 7 ˜x  7 1 9 35 63 9 ˜x  1152 35 7 ˜x  9 ˜x  1152 1 9 ˜x  11 11 ˜x 2816 63 11 2816 ˜x 11 ˜x § 1  x · reihe  x = 0  12 o 1 ˜ x  1 ˜ x3  1 ˜ x5  1 ˜ x7  1 ˜ x9  1 ˜ x11 3 5 7 9 11 © 1  x¹ ˜ ln ¨ 1 arcosh ( x) reihe  x = 1  3 o 2 2 1 ˜ ( x  1) 2 1  1 12 1 § ln © x  · 2 x  1¹ reihe  x = 1  3 o 2 2 § 2 · x  1¹ reihe  x = 1  3 o 2 2 ˜ ( x  1) 2 2 1  3  1 12 ˜2 2 2  12 ˜2 5 2 ˜ ( x  1) 2 1 2  3 160 ˜2 2 3 ˜ ( x  1) 2 ˜ ( x  1) 3 1 1 ˜2 160 1 1 ˜ ( x  1) 2 ˜ ( x  1) 1 1 ln © x  ˜2 3 2 5 ˜ ( x  1) 2 1  3 160 ˜2 2 5 ˜ ( x  1) 2 Es gilt also: § arcosh ( x) = ln © x  2 · § x  1¹ bzw.

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Angewandte Mathematik mit Mathcad, Lehr- und Arbeitsbuch: Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen German by Josef Trölß


by Jeff
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